已知函數(shù).
（1）當時，討論函數(shù)的單調性；
（2）當時，在函數(shù)圖象上取不同兩點A、B，設線段AB的中點為，試探究函數(shù)在Q點處的切線與直線AB的位置關系？
（3）試判斷當時圖象是否存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結論.

（1）時，函數(shù)在上單調遞增；當，函數(shù)在和上單調遞增；在上單調遞減；（2）所以函數(shù)Q點處的切線與直線AB平行；
（3）圖象不存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結論.

解析試題分析：（1）求導即可知其單調性；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)在點Q處的切線的斜率，再求出直線AB的斜率，可看出它們是相等的，所以函數(shù)在Q點處的切線與直線AB平行；
（3）設，若滿足（2）中結論，則有
，化簡得（*）.如果這個等式能夠成立，則存在，如果這個等式不能成立，則不存在.設，則*式整理得，問題轉化成該方程在上是否有解.再設函數(shù)，下面通過導數(shù)即可知方程在上是否有解，從而可確定函數(shù)是否滿足（2）中結論.
（1）由題知，
當即時，，函數(shù)在定義域上單調遞增；
當，由解得，函數(shù)在和上單調遞增；在上單調遞減；                                             4分
（2），，

所以函數(shù)Q點處的切線與直線AB平行；            .7分
（3）設，若滿足（2）中結論，有
，即
即   （*）               .9分
設，則*式整理得，問題轉化成該方程在上是否有解； 11分
設函數(shù)，則，所以函數(shù)在單調遞增，即，即方程在上無解，即函數(shù)不滿足（2）中結論    14分
考點：導數(shù)的應用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝(ax＋1)ex.
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；
(2)當a>0時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上的最小值．

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用總長為14.8米的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所制的容器的底面的長比寬多0.5米，那么高為多少時容器的容器最大？并求出它的最大容積．

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已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x，g(x)＝，它們的定義域都是(0，e]，其中e是自然對數(shù)的底e≈2.7，a∈R.
(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的最小值；
(2)當a＝1時，求證：f(m)>g(n)＋對一切m，n∈(0，e]恒成立；
(3)是否存在實數(shù)a，使得f(x)的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
(1)當a=1時，求曲線在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)當a>0時，若f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的值；
(3)若對任意，且恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)2，a，b是常數(shù)．
(1)若a≠b，求證：函數(shù)f(x)存在極大值和極小值；
(2)設(1)中f(x)取得極大值、極小值時自變量的值分別為x1，x2，設點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．如果直線AB的斜率為－，求函數(shù)f(x)和f′(x)的公共遞減區(qū)間的長度；
(3)若f(x)≥mxf′(x)對于一切x∈R恒成立，求實數(shù)m，a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（14分）（2011•天津）已知函數(shù)f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當t≠0時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對任意的t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內均存在零點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，且．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）設函數(shù)，若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）求在區(qū)間上的最大值；
（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；
（3）問過點分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結論）

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