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設A，B 是橢圓3x2+y2= λ上的兩點，點N(1，3) 是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓交于C，D兩點
(1) 當λ=3時，求橢圓的焦點坐標；  
(2) 確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程．
解：(1)當λ=3時，橢圓3x2+y2=3，
即
a2=3，b2=1，c=
所以橢圓的焦點坐標是
(2)依題意，可設直線AB的方程為y=k(x-1)+3，
代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0，    ①
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程①的兩個不同的根，
∴,且Δ=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0.②
由N(1，3)是線段AB的中點，得
∴k(k-3)=k2+3，解得k=-1；
代入②得λ>12，
即λ的取值范圍是(12，+∞）．
于是，直線AB的方程y=-1（x-1）+3即x+y-4=0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，△AF1F2為正三角形，且以AF2為直徑的圓與直線y=
3
x+2相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實數m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其中a2=4c，直線l：3x-2y=0與橢圓的交點在x軸上的射影恰為橢圓的焦點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓在x軸上方的一個交點為P，F是橢圓的右焦點，試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，點A、B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1的長軸的左、右端點，F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為
3
x+y-3
2
=0，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直線PA的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

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科目：高中數學 來源：江西省臨川十中2011－2012學年高二下學期期中考試數學理科試題 題型：022

以下四個關于圓錐曲線的命題中：

①設A、B為兩個定點，k為正常數，||＋||＝k，則動點P的軌跡為橢圓；

②雙曲線與橢圓＋y2＝1有相同的焦點；

③方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④已知點P(x，y)的坐標滿足方程|3x＋4y－15|＝5，則點P的軌跡是一條直線．

其中真命題的序號為________．

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科目：高中數學 來源：江西省臨川十中2011－2012學年高二下學期期中考試數學文科試題 題型：022

以下四個關于圓錐曲線的命題中：

①設A、B為兩個定點，k為正常數，||＋||＝k，則動點P的軌跡為橢圓；

②雙曲線與橢圓有相同的焦點；

③方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④點P到直線3x＋4y－15＝0的距離與到點(1，3)的距離相等，則點P的軌跡是拋物線．

其中真命題的序號為________．

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