Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于2，拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線方程為（　�。�

• A、y²=4x
• B、y²=4

  2

  x
• C、y²=8

  2

  x
• D、y²=8x

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，求得b=2，再由拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，求得弦長(zhǎng)，可得a=2，再由a，b，c的關(guān)系，可得c，即可得到p，進(jìn)而得到拋物線方程．

解答： 解：設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點(diǎn)為（c，0），漸近線方程為y=

b

a

x，
則焦點(diǎn)到其漸近線的距離為

bc

a2+b2

=

bc

c

=b=2，
拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，則有c=

p

2

，
雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得的線段長(zhǎng)為4，
則令x=-

p

2

=-c，代入雙曲線方程，可得y=±b

c2 a2 -1

=±

b2

a

．
則有

2b2

a

=4，解得，a=2，即有c=

a2+b2

=2

2

，
則p=4

2

．
故拋物線方程為y²=8

2

x．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和準(zhǔn)線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．