Question

20．如圖，點(diǎn)M，N分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中點(diǎn)，則異面直線B₁D₁和MN所成的角是（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 ：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線B₁D₁和MN所成的角．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
則B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），M（1，2，0），N（0，2，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{MN}$=（-1，0，1），
設(shè)異面直線B₁D₁和MN所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}•\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}|•|\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴異面直線B₁D₁和MN所成的角是60°．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．