Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），且b_n=a_ncos$\frac{2nπ}{3}$，記S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，則S₁₂₀=7280．

Answer 1

分析 由na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），變形為$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，利用等差數(shù)列的通項公式可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$，可得a_n．由b_n=a_ncos$\frac{2nπ}{3}$=${n}^{2}cos\frac{2nπ}{3}$，對n分類討論利用三角函數(shù)的周期性即可得出．

解答 解：∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$成等差數(shù)列，首項為1，公差為1．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，
可得a_n=n²．
∴b_n=a_ncos$\frac{2nπ}{3}$=${n}^{2}cos\frac{2nπ}{3}$，
∴b_3k-2=$（3k-2）^{2}cos\frac{2（3k-2）π}{3}$=$-\frac{1}{2}（3k-2）^{2}$，
b_3k-1=（3k-1）²$cos\frac{2（3k-1）π}{3}$=-$\frac{1}{2}（3k-1）^{2}$，
b_3k=（3k）²$cos\frac{2×3kπ}{3}$=（3k）²，k∈N^*．
∴b_3k-2+b_3k-1+b_3k=$-\frac{1}{2}（3k-2）^{2}$-$\frac{1}{2}（3k-1）^{2}$+（3k）²=9k-$\frac{5}{2}$，
則S₁₂₀=9×（1+2+…+40）-$\frac{5}{2}×40$
=7280．
故答案為：7280．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系、三角函數(shù)的周期性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．