Question

某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有n位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系k位學(xué)生參加（n和k都是固定的正整數(shù)），假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為X．
（I）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整數(shù)m．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)，兩位老師發(fā)送信息是獨(dú)立的，要計(jì)算該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率可先計(jì)算其對(duì)立事件，該生沒(méi)有接到任一位老師發(fā)送的信息的概率，利用概率的性質(zhì)求解；
（II）由題意，要先研究隨機(jī)變量X的取值范圍，由于k≤n故要分兩類k=n與k＜n進(jìn)行研究，k=n時(shí)易求，k＜n時(shí)，要研究出同時(shí)接受到兩位老師信息的人數(shù)，然后再研究事件所包含的基本事件數(shù)，表示出P（X=m），再根據(jù)其形式研究它取得最大值的整數(shù)m即可．
解答：解：（I）因?yàn)槭录嗀：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨(dú)立事件，所以與相互獨(dú)立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1-，
因此學(xué)生甲收到活動(dòng)信息的概率是1-（1-）²=
（II）當(dāng)k=n時(shí)，m只能取n，此時(shí)有P（X=m）=P（X=n）=1
當(dāng)k＜n時(shí)，整數(shù)m滿足k≤m≤t，其中t是2k和m中的較小者，由于“李老師與張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)送活動(dòng)信息給k位”所包含的基本事件總數(shù)為（）²，當(dāng)X=m時(shí)，同時(shí)收到兩位老師所發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為2k-m，僅收到李老師或張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為m-k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件數(shù)為
P（X=M）==
當(dāng)k≤m＜t時(shí)，P（X=M）＜P（X=M+1）?（m-k+1）2≤（n-m）（2k-m）?m≤2k-
假如k≤2k-＜t成立，則當(dāng)（k+1）²能被n+2整除時(shí)，
k≤2k-＜2k+1-＜t，故P（X=M）在m=2k-和m=2k+1-處達(dá)到最大值；
當(dāng)（k+1）²不能被n+2整除時(shí)，P（X=M）在m=2k-[]處達(dá)到最大值（注：[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)），
下面證明k≤2k-＜t
因?yàn)?≤k＜n，所以2k--k=≥=≥0
而2k--n=＜0，故2k-＜n，顯然2k-＜2k
因此k≤2k-＜t
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查古典概率模型，計(jì)數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查抽象的思想，邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本題易因?yàn)閷忣}時(shí)不明白事件的情形而導(dǎo)致無(wú)法下手，或者因?yàn)榉诸惒磺逦茨苷�確分類導(dǎo)致失分