Question

某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有位學(xué)生，每次活動均需該系位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到.記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為

（Ⅰ）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；

（Ⅱ）求使取得最大值的整數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】本題是概率壓軸題，難度大，文字多，考生不一定能夠有時(shí)間去讀懂，不僅如此還考查到了分類討論思想，難度更高一層，但細(xì)細(xì)想來，它也就那回事.第（1）題該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息要從反面角度去思考，沒有收到信息的概率是什么，由于A和B是相互獨(dú)立，，沒有收到信息的概率正好是，所以最后的結(jié)果就能求出；第（2）題考查的考點(diǎn)比較多，而且和都是變量，遇到變量就要做好討論的準(zhǔn)備，于是本題要從和兩個(gè)角度考慮.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者，從而表示出，接著要根據(jù)題意找出不等關(guān)系：，化簡分離出，而是否為整數(shù)，需要討論，還需要考慮是否成立的問題，于是，接下來一方面需要討論是否為整，另一方面要證明，詳細(xì)的解答如下.

設(shè)事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”，事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”，由題意A和B是相互獨(dú)立的事件，則與 相互獨(dú)立，

而

所以

因此，學(xué)生甲收到活動通知信息的概率為

.

當(dāng)時(shí)，只能取，有

當(dāng)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者.“李老師和張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)活動通知信息給位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為.

當(dāng)時(shí)，同時(shí)收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為，則由乘法計(jì)數(shù)原理知：事件所含基本事件數(shù)為

此時(shí)

當(dāng)，

化簡解得

假如成立，

則當(dāng)能被整除時(shí)，

，故在和處達(dá)到最大值；

則當(dāng)不能被整除時(shí)，在處達(dá)最大值.（注：表示不超過的最大整數(shù)）.

下證：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081613203558371041/SYS201308161321211374919340_DA.files/image040.png">，所以，

，故，顯然.

因此.

【考點(diǎn)定位】考查古典概型，計(jì)數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識.，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力.