已知數(shù)列{an}的通項an=n2+n,試問是否存在常數(shù)p,q,使等式
1
1+a1
+
1
2+a2
+…
1
n+an
=
pn2+qn
4(n+1)(n+2)
對一切自然數(shù)n都成立.若存在,求出p,q的值.并用數(shù)學(xué)歸納法證明,若不存在說明理由.
考點:數(shù)學(xué)歸納法
專題:綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:令n=1,2,建立方程求出p,q的值,再用數(shù)學(xué)歸納法證明成立,證明時先證:(1)當(dāng)n=1時成立.(2)再假設(shè)n=k(k≥1)時,成立,遞推到n=k+1時,成立即可.
解答: 解:令n=1,2可得
1
1+a1
=
p+q
24
,
1
1+a1
+
1
2+a2
=
4p+2q
48

∴p+q=8,4p+2q=22,
∴p=3,q=5,
1
1+a1
+
1
2+a2
+…+
1
n+an
=
3n2+5n
4(n+1)(n+2)

證明如下:
①n=1時,左邊=
1
1+a1
=
1
3
,右邊=
3+5
4×2×3
=
1
3
,結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即
1
1+a1
+
1
2+a2
+…+
1
k+ak
=
3k2+5k
4(k+1)(k+2)
,
則n=k+1時,左邊=
1
1+a1
+
1
2+a2
+…+
1
k+ak
+
1
(k+1)+ak+1
=
3k2+5k
4(k+1)(k+2)
+
1
(k+1)+[(k+1)2+(k+1)]

=
3(k+1)2+5(k+1)
4(k+2)(k+3)

即n=k+1時,結(jié)論成立,
由①②可知
1
1+a1
+
1
2+a2
+…+
1
n+an
=
3n2+5n
4(n+1)(n+2)
點評:本題主要考查研究存在性問題和數(shù)學(xué)歸納法,對存在性問題先假設(shè)存在,再證明是否符合條件,數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié),要符合假設(shè)的模型才能成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos
3
2
x,sin
3
2
x),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),且x∈[0,
π
2
].
(1)求
a
b
及|
a
+
b
|
(2)若f(x)=
a
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
,求實數(shù)λ的值;
(3)設(shè)g(x)=sin(x+
π
3
),若方程3[g(x)]2-g(x)+m=0在x∈(-
π
3
,
3
)內(nèi)有兩個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),(|φ|<
π
2
)向左平移
π
6
個單位后是奇函數(shù).
(1)求φ
(2)函數(shù)f(x)在[0,
π
2
]上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,
(2)設(shè)g(x)=
2
3
x3-x2,求證:對任意實數(shù)x,都有f(x)≥g(x)

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設(shè)全集是實數(shù)集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}.
(1)當(dāng)a=-4時,求A∩B和A∪B;
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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦距為2
3
,且經(jīng)過點(2,0),直線y=kx+m與橢圓相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)△AOB面積為S,|AB|=2,S=1,求直線AB的方程.

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若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,則a1+a2+a3+…+a11的值為
 

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a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…則a9+b9=
 

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若關(guān)于x的方程sin2x+cos2x=k在區(qū)間[0,
π
2
]上有實數(shù)解,則實數(shù)k的最大值為
 

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