Question

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），其中（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值并求出取得最值時(shí)的x值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)圖象觀察可知A，函數(shù)的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得ω，由點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，2）在函數(shù)圖象上，可得：2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，解得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z結(jié)合范圍|φ|≤$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即可確定出f（x）的最小值與最大值，以及取得最值時(shí)x的值．

解答 解：（1）由函數(shù)圖象觀察可知：A=1，…（1分），
函數(shù)的周期T=2（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得：ω=$\frac{2π}{π}$=2…（2分）
由點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，1）在函數(shù)圖象上，可得：sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，可得：φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$…（4分）
函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；…（6分）
（3）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
則當(dāng)x=-$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$；當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最大值1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．