Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F（2，0）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過N（-1，0）的直線l交曲C于A，B兩點，又AB的中垂線交y軸于點D（0，t），求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設拋物線方程為y²=2px，則

p

2

=2，由此能求出拋物線的方程．
（2）直線l的方程是y=k（x+1），聯(lián)立

y=k(x+1) y2=8x

，消去x得ky²-8y+8k=0，再由根的判別別式和韋達定理能夠推導出t的取值范圍(

5 2

2

，+∞)．

解答：解：（1）設拋物線方程為y²=2px，則

p

2

=2，∴p=4，
所以，拋物線的方程是y²=8x．（4分）
（2）由題設知，直線l的斜率存在，故設直線l的方程是y=k（x+1），聯(lián)立

y=k(x+1) y2=8x

，消去x得ky²-8y+8k=0，（6分）
顯然k≠0，由△=64-32k²＞0，得0＜|k|＜

2

．（8分）
由韋達定理得，y₁+y₂=

8

k

，y₁y₂=8，
所以x1+x2=

y1+y2

k

-2=

8

k2

-2，則AB中點E坐標是（

4

k2

-1，

4

k

），（10分）
由k_DE-k=-1可得k³t-3k²-4=0，
所以，t=

4

k3

+

3

k

，令

1

k

 =x，則t=4x³+3x，其中|x|＞

2

2

，（12分）
因為t′=12x²+3＞0，所以函數(shù)t=4x³+3x是在（-∞，-

2

2

），（

2

2

，+∞）上增函數(shù)．
所以，t的取值范圍是（-∞，-

5 2

2

）∪(

5 2

2

，+∞)．（15分）

點評：本題考查拋手線的性質和應用，解題時要注意根的判別式和韋達定理的合理運用．