Question

7．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式e^xf（x）＞e^x+1+2的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，e+2）
• C． （-∞，0）∪（e+2，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x+1-2（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x+1-2（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x+1=e^x[f（x）+f′（x）-e]，
∵f（x）+f′（x）＜e，
∴f（x）+f′（x）-e＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減，
∵f（0）=e+2，
∴g（0）=e⁰f（0）-e-2=e+2-e-2=0，
∴g（x）＞g（0），
∴x＜0，
∴不等式的解集為（-∞，0）
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．