Question

5．已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（-x）=f（x）和f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=1-x，則關(guān)于x的方程f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x在x∈[0，4]上解的個(gè)數(shù)是5．

Answer 1

分析 由f（-x）=f（x）和f（x+2）=f（x），可得函數(shù)是偶函數(shù)，且周期為2的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（-x）=f（x），
∴函數(shù)為偶函數(shù)，
∵f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)為周期2的函數(shù)，
若x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=1-x，
∴f（-x）=1+x=f（x），
即f（x）=1+x，x∈[-1，0]，
作出函數(shù)f（x）和y=（$\frac{1}{3}$）^x在x∈[0，4]上的圖象如圖：
由圖象知兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)，在[0，1）內(nèi)存在兩個(gè)交點(diǎn)，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用以及根的個(gè)數(shù)的判斷，利用條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．