Question

（本題滿分14分）
已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂；且
點(diǎn)在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過F₁的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且△AF₂B的面積為，求以F₂為圓
心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

解：(1)設(shè)橢圓的方程為，由題意可得：
橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁(-1,0），F(xiàn)₂(1,0)． ………………2分

,又c="1," b²=4-l=3,
故橢圓的方程為．…………4分
(2)當(dāng)直線l⊥x軸，計(jì)算得到：
，不符合題意，…………………6分
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k(x+1)，
由，消去y得
顯然△>O成立，設(shè)
則  ………………8分
又
即 ' …………………………………………10分
又圓F₂的半徑    ……………………………11分
所以
化簡(jiǎn)，得，即，解得k=±1，……l3分
所以，，故圓F₂的方程為：(x-1)²+y²=2．……………l4分
(2)另解：設(shè)直線l的方程為x=ty-1，
由，消去x得，△>O恒成立，
設(shè),則
所以
又圓F₂的半徑為
所以，解得t²=1，
所以．故圓F₂的方程為：

略