Question

4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為頂點，x軸的非負半軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．已知A，B的橫坐標分別為$\frac{\sqrt{2}}{10}，\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{sinαcosα-6co{s}^{2}α}$的值；
（Ⅱ）求α+β的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求tanα，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可計算得解．
（Ⅱ）求出tanα，tanβ，即可求tan（α+β）的值，結(jié)合角的范圍即可得解α+β的值．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得，A（$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）  …（1分）
∴tanα=7，…（3分）
∴$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{sinαcosα-6co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{tanα-6}$…（5分）
=$\frac{{7}^{2}+7}{7-6}$=56．  …（6分）
（Ⅱ）由題意得，B（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），tanβ=$\frac{4}{3}$，…（7分）
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$        …（8分）
=$\frac{7+\frac{4}{3}}{1-7×\frac{4}{3}}$        …（9分）
=-1．    …（10分）
又∵α，β是銳角，
∴0＜α+β＜π，…（11分）
∴α+β=$\frac{3π}{4}$．  …（12分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)值的計算，要求熟練掌握相應(yīng)的三角公式，屬于基礎(chǔ)題．