分析 (1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AE⊥平面BCE;
(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論.
解答 (1)證明:在直角梯形ABCD中,作DM⊥BC于M,連接AE,
則CM=2-1=1,CD=DE+CE=1+2=3,
則DM=AB=2$\sqrt{2}$,cosC=$\frac{1}{3}$,則
BE=$\sqrt{4+4-2×2×2×\frac{1}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,sin∠CDM=$\frac{1}{3}$,
則AE=$\sqrt{1+2-2×1×1×\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,(2分)
∴AE2+BE2=AB2,
故AE⊥BE,且折疊后AE與BE位置關(guān)系不變…(4分)
又∵面BCE⊥面ABED,且面BCE∩面ABED=BE,
∴AE⊥面BCE,
∵AE?平面ACE,
∴平面ACE⊥平面BCE…(6分)
(2)解:∵在△BCE中,BC=CE=2,F(xiàn)為BE的中點
∴CF⊥BE
又∵面BCE⊥面ABED,且面BCE∩面ABED=BE,
∴CF⊥面ABED,
故可以F為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則A($\frac{2\sqrt{6}}{3}$,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,0),C(0,0,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),E(0,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,0),
易求得面ACE的法向量為$\overrightarrow{m}$=(0,-$\sqrt{2}$,1)…(8分)
假設(shè)在AB上存在一點P使平面ACE與平面PCF,
所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$,且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$,(λ∈R),
∵B(0,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,0),
∴$\overrightarrow{AB}$=(-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,0),
故$\overrightarrow{AP}$=(-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$λ,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$λ,0),
又$\overrightarrow{CA}$=($\frac{2\sqrt{6}}{3}$,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),
∴$\overrightarrow{CP}$=($\frac{2\sqrt{6}}{3}$(1-λ),$\frac{2\sqrt{3}}{3}$(2λ-1),-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),
又 $\overrightarrow{FC}$=(0,0,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),
設(shè)面PCF的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\\{\frac{2\sqrt{6}}{3}(1-λ)x-\frac{2\sqrt{3}}{3}(2λ-1)y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$
令x=2λ-1得$\overrightarrow{n}$=(2λ-1,$\sqrt{2}$(λ-1),0)…(10分)
∴|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>|=$\frac{|2(λ-1)|}{\sqrt{3}•\sqrt{(2λ-1)^{2}+2(λ-1)^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
解得$λ=\frac{1}{2}$…(12分)
因此存在點P且P為線段AB中點時使得平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$.…(13分)
點評 本題主要考查空間線面垂直的判定以及空間二面角的計算和應(yīng)用,建立空間坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4種 | B. | 16種 | C. | 20種 | D. | 24種 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{9}$ | C. | 6 | D. | 9 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | .一個半圓 | B. | 一個圓 | C. | 兩個半圓 | D. | 兩個圓 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 老年人應(yīng)作為重點調(diào)查對象,故抽取的老年人應(yīng)超過40名 | |
B. | 每個人被抽到的概率相同為$\frac{1}{10}$ | |
C. | 應(yīng)使用分層抽樣抽取樣本調(diào)查 | |
D. | 抽出的樣本能在一定程度上反映總體的健康狀況 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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