Question

某工廠有舊墻一面長14米，現(xiàn)準備利用這面舊墻建造一個平面圖形為矩形，面積為126平方米的廠房，工程條件是：建1米新墻費用為a元，修1米舊墻費用為

a

4

元，拆1米舊墻用所得材料再建1米新墻所得費用為

a

2

元，現(xiàn)有兩種方案：
（1）利用舊墻的一段x米（x＜14）為廠房的一邊長（剩下的舊墻拆掉建成新墻）；
（2）矩形廠房的一邊長為x（x≥14）（所有舊墻都不拆），問如何利用舊墻才能使得建墻費用最省？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）拆去的舊墻的長為14-x，所以建新墻的長為：

126

x

+

126

x

+x-（14-x），故可得y=100[2（x+

126

x

）-14]+25x+50（14-x）（0＜x＜14），利用基本不等式可求建墻費用最省；
（2）y=100[2（x+

126

x

）-14]+25×14（x≥14），利用y在[14，+∞）上為增函數(shù)，可求建墻費用最��；兩方案比較，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵利用舊墻的一段x米，
∴拆去的舊墻的長為14-x，（x＜14）
∴建新墻的長為：

126

x

+

126

x

+x-（14-x），
∴y=a[（

126

x

+

126

x

+x）-（14-x）]+

a

4

×x+

a

2

（14-x）
=（

7

4

x+

252

x

-7）a≥35a   （0＜x＜14）…（4分）
當且僅當x=12∈（0，14）時建墻費用最省為35a元．…（6分）
（2）矩形廠房的一邊長為x（x≥14）（所有舊墻都不拆），
建新墻的長為：

126

x

+

126

x

+x-（x-14），
∴y=a[（

126

x

+

126

x

+x）-（14-x）]+

a

4

×x
=（2x+

252

x

-

21

2

）a≥35a   （x≥14）…（9分）
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得y在[14，+∞）上為增函數(shù)，
當且僅當x=14時建墻費用最省為35.5a元．     …（11分）
故用方案一利用舊墻12米，所得費用最省                       …（12分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案優(yōu)化問題，考查函數(shù)最值的求解方法，屬于中檔題．