【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明有極小值點(diǎn)，且；

（Ⅱ）證明．

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）求得，分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可證得結(jié)論成立；

（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)證明出，由此可得出結(jié)論.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

所以函數(shù)在為增函數(shù)，且，，

于是存在使，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的極小值點(diǎn)，且；

（Ⅱ）先證明不等式.

構(gòu)造函數(shù)，，則，令，得.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)的最小值為，；

接下來(lái)證明不等式.

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令得.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)的最小值為，.

所以，，，即，

因此，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M點(diǎn)為圓心的圓及其上一點(diǎn).

（1）設(shè)圓N與y軸相切，與圓M外切，且圓心在直線上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)且，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷項(xiàng)目迅速炒“熱”．北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開(kāi)設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占，而男生有10人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣額．

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？

（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)再?gòu)脑撔Ｒ荒昙?jí)全體學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1名學(xué)生，抽取5次，記被抽取的5名學(xué)生中對(duì)冰球有興趣的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差．

附表：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】大學(xué)生小王自主創(chuàng)業(yè)，在鄉(xiāng)下承包了一塊耕地種植某種水果，每季投入2萬(wàn)元，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，每季收獲的此種水果能全部售完，且水果的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量具有隨機(jī)性，互不影響，具體情況如表：

（Ⅰ）設(shè)表示在這塊地種植此水果一季的利潤(rùn)，求的分布列及期望；

（Ⅱ）在銷售收入超過(guò)5萬(wàn)元的情況下，利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，某省由于人員流動(dòng)性較大，成為湖北省外疫情最嚴(yán)重的省份之一，截至2月29日，該省已累計(jì)確診1349例患者（無(wú)境外輸入病例）.

（1）為了解新冠肺炎的相關(guān)特征，研究人員從該省隨機(jī)抽取100名確診患者，統(tǒng)計(jì)他們的年齡數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

年齡

人數(shù)

2

6

12

18

22

22

12

4

2

由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，該省新冠肺炎患者的年齡服從正態(tài)分布img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/05/25/11/70cd3e4c/SYS202005251112216152234742_ST/SYS202005251112216152234742_ST.011.png" width="80" height="22" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，其中近似為這100名患者年齡的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.請(qǐng)估計(jì)該省新冠肺炎患者年齡在70歲以上（）的患者比例；

（2）截至2月29日，該省新冠肺炎的密切接觸者（均已接受檢測(cè)）中確診患者約占10%，以這些密切接觸者確診的頻率代替1名密切接觸者確診發(fā)生的概率，每名密切接觸者是否確診相互獨(dú)立.現(xiàn)有密切接觸者20人，為檢測(cè)出所有患者，設(shè)計(jì)了如下方案：將這20名密切接觸者隨機(jī)地按（且是20的約數(shù)）個(gè)人一組平均分組，并將同組的個(gè)人每人抽取的一半血液混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)新冠病毒，則對(duì)該組的個(gè)人抽取的另一半血液逐一化驗(yàn)，記個(gè)人中患者的人數(shù)為，以化驗(yàn)次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，試確定使得20人的化驗(yàn)總次數(shù)最少的的值.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，為圓的圓心.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，則P，Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某位同學(xué)進(jìn)行寒假社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，為了對(duì)白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫與該小賣部的這種飲料銷量（杯），得到如下數(shù)據(jù)：

日期

1月11日

1月12日

1月13日

1月14日

1月15日

平均氣溫

9

10

12

11

8

銷量（杯）

23

25

30

26

21

（1）若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；

（2）請(qǐng)根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；

（3）根據(jù)（1）中所得的線性回歸方程，若天氣預(yù)報(bào)1月16日的白天平均氣溫，請(qǐng)預(yù)測(cè)該奶茶店這種飲料的銷量.

（參考公式：，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)a，b，c成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)BC至D，若，則面積的最大值為（ ）

A.2B.C.D.

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