Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+cos²

x

3

．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+h（A＞0）的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c依次成等比數(shù)列，且邊b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）首先通過恒等變換把函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出圖象對稱中心的橫坐標(biāo)．
（2）首先根據(jù)等比數(shù)列，利用余弦定理求出x的取值范圍，進(jìn)一步求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）已知函數(shù)f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+cos²

x

3

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

(1+cos

2x

3

)=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

由sin（

2x

3

+

π

3

）=0
得到：

2x

3

+

π

3

=kπ（k∈Z）
解得：x=

3k-1

2

  （k∈Z）
即：對稱中心的橫坐標(biāo)為：x=

3k-1

2

  （k∈Z）
（2）△ABC的三邊a、b、c依次成等比數(shù)列
∴b²=ac
∴cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

∴

1

2

≤cosx＜1
∴0＜x≤

π

3

π

3

＜

2

3

x+

π

3

≤

5π

9

∴

3

2

＜sin(

2

3

x+

π

3

)≤1
則：

3

＜f(x)≤1+

3

2

即：f（x）的值域?yàn)椋海?span id="hfqu2ra" class="MathJye">

3

，1+

3

2

]．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：三角函數(shù)式的恒等變換，正弦型三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，對稱中心的橫坐標(biāo)，等比中項(xiàng)，余弦定理以及三角函數(shù)的值域．