Question

已知圓C經(jīng)過點A（-2，0），B（0，2），且圓心在直線y=x上，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點．
（1）求圓C的方程；
（2）若，求實數(shù)k的值；

Answer 1

【答案】分析：（1）圓心在直線y=x上，設(shè)圓C（a，a）半徑r，|AC|=|BC|=r，求得a，r，得到圓C的方程．
（2）可求得∠POQ，進(jìn)而求出圓心到直l：kx-y+1=0的距離，再去求k．
解答：解：（I）設(shè)圓C（a，a）半徑r．因為圓經(jīng)過A（-2，0），B（0，2）
所以：|AC|=|BC|=r，解得a=0，r=2，
所以C的方程x²+y²=4．
（II）方法一：
因為，，
所以，，∠POQ=120°，
所以圓心到直l：kx-y+1=0的距離d=1，，所以 k=0．
方法二：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因，代入消元（1+k²）x²+2kx-3=0．
由題意得△=4k²-4（1+k²）（-3）＞0且和
因為，
又y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
所以，
化簡得：-5k²-3+3（k²+1）=0，
所以：k²=0即k=0．
點評：本題考查求圓的方程的常用方法，（II）中用向量的數(shù)量積，求角，解三角形，點到直線的距離等知識．是中檔題．