Question

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）、B（3，0），并且直線m：2x-3y=0平分圓C．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)D（0，3），且斜率為k的直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)E、F，若|EF|≥2

3

，求k的取值范圍；
（3）若圓C關(guān)于點(diǎn)(

3

2

，1)對(duì)稱的曲線為圓Q，設(shè)M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）（x₁≠±x₂）是圓Q上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M₁，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M₂，如果直線PM₁、PM₂與y軸分別交于（0，m）和（0，n），問m•n是否為定值？若是求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，算出線段AB的中垂線方程為x-y-1=0，將其與直線m：2x-3y=0聯(lián)解得

x=3 y=2

，可得圓心的坐標(biāo)為C（3，2），由兩點(diǎn)的距離公式算出半徑r=2，即可得到圓C的方程；
（2）設(shè)圓心C到直線y=kx+3的距離為d，垂徑定理得到EF長(zhǎng)關(guān)于d的表達(dá)式，根據(jù)|EF|≥2

3

解出d≤1，再由點(diǎn)到直線的距離公式，建立關(guān)于k的不等式，解之即可得到k的取值范圍；
（3）利用對(duì)稱的公式，算出圓Q的方程為：x²+y²=4．根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程求出直線PM₁以x₁、y₁為參數(shù)的方程，令x=0解出m=

x1y2-x2y1

x2+x1

，同理算出n=

-x1y2-x2y1

x2-x1

，再根據(jù)x12+y12=4，x22+y22=4化簡(jiǎn)mn關(guān)于x₁、y₁、x₂、y₂的式子，即可得到m•n為定值4．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（1，2）、B（3，0），∴線段AB的中點(diǎn)為E（2，1），
∵直線AB的斜率k_AB=

2-0

1-3

=-1，AB中垂線的斜率為k=

-1

kAB

=1，
∴線段AB的中垂線方程為y-1=x-2，即x-y-1=0．
又∵圓C經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，∴圓心在線段AB的中垂線上．
∵直線m：2x-3y=0平分圓C，∴直線m經(jīng)過圓心C．
因此聯(lián)解

x-y-1=0 2x-3y=0

，得

x=3 y=2

，即圓心的坐標(biāo)為C（3，2），
從而圓C的半徑r=|CB|=

(3-1)2+(2-2)2

=2，
∴圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=4；
（2）設(shè)圓心（3，2）到直線y=kx+3的距離為d，
由弦長(zhǎng)公式得：|EF|=2

4-d2

≥2

3

，解之得d≤1，
由點(diǎn)到直線的距離公式，得d=

|3k-2+3|

k2+1

≤1，
化簡(jiǎn)得 8k（k+

3

4

）≤0，解之得-

3

4

≤k≤0；
（3）∵圓C關(guān)于點(diǎn)(

3

2

，1)對(duì)稱的曲線為圓Q，
∴點(diǎn)C（3，2）與點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)(

3

2

，1)的對(duì)稱，
即QC的中點(diǎn)為點(diǎn)(

3

2

，1)，可得Q（0，0）
因此，圓Q的方程為：x²+y²=4．
由于M（x₁，y₁）、p（x₂，y₂）是圓Q上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
可得

M1(-x1，-y1)，

M2(x1，-y1)，

滿足x12+y12=4，x22+y22=4，
由PM₁的方程

y+y1

y2+y1

=

x+x1

x2+x1

，令x=0求得與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)是m=

x1y2-x2y1

x2+x1

由PM₂的方程

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

，令x=0求得與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)是n=

-x1y2-x2y1

x2-x1

．
∵x12+y12=4，x22+y22=4，可得y12=4-x12，y22=4-x22，
∴m•n=

x22y12-x12y22

x22-x12

=

x22(4-x12)-x12(4-x22)

x22-x12

=4（定值）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系、方程組的解法和等式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．