Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，求函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1由f'（1）=0得a=-2
∴f（x）=x³-2x²+x+1
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-3即切點(diǎn)（-1，-3）
k=f'（x₀）=3x₀²-4x₀+1令x₀=-1得k=8
∴切線方程為8x-y+5=0
（2f（x）在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)即f′（x）=0在有解
∴3x²+2ax+1=0在有解
∴
令h（x）=
∴
知h（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
∴
即h（x）
∴
即
而當(dāng)時(shí)，
∴舍去
綜上
分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值為0，求出f（x）的 解析式，將x=-1代入f（x）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，將x=-1代入導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線的方程．
（2）函數(shù)不單調(diào)，即函數(shù)在區(qū)間有極值，即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，令導(dǎo)函數(shù)為0，分離出a，求出a的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0；導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率；考查解決方程有解問題常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．