Question

某旅游用品商店經(jīng)銷(xiāo)某種深圳大運(yùn)會(huì)記念品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門(mén)上交a元（3≤a≤6）的稅收，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（11≤x≤16）時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為（18-x）²萬(wàn)件．
（Ⅰ）求該商店一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該商店一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)等于銷(xiāo)售量與每件商品的利潤(rùn)的乘積可得該商店一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）欲求出L的最大值Q（a）．先對(duì)函數(shù)L（x）求導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得原函數(shù)的最大值即可解決問(wèn)題．

解答：解：（Ⅰ）商店一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L=（x-3-a）（18-x）²，x∈[11，16]．（無(wú)定義域扣1分）                                      …（4分）
（Ⅱ）L=（x-3-a）（18-x）²=x（18-x）²-（3+a）（18-x）²L'（x）=（18-x）²-2x（18-x）+2（3+a）（18-x）=（18-x）（24+2a-3x）．
令L'=0得x=8+

2

3

a或x=18（不合題意，舍去）．…（6分）
∵3≤a≤6，∴10≤8+

2

3

a≤12．在x=8+

2

3

a兩側(cè)L'（x）的值由正變負(fù)．
所以（1）當(dāng)10≤8+

2

3

a＜11，即3≤a＜

9

2

時(shí)，L_max=L（11）=49（8-a）=49（8-a）．
（2）當(dāng)11≤8+

2

3

a≤12即

9

2

≤a≤6時(shí)，Lmax=L(8+

2

3

a)=(8+

2

3

a-3-a)[18-(8+

2

3

a)]2=4(5-

1

3

a)3，
所以Q（a）=

49(8-a)    3≤a≤ 9 2 4(5- 1 3 a ) 3  9 2 ＜a≤6

答：若3≤a＜

9

2

，則當(dāng)每件售價(jià)為11元時(shí)，商店一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=49（8-a）（萬(wàn)元）；若

9

2

≤a≤6，則當(dāng)每件售價(jià)為(8+

2

3

a)元時(shí)，商店一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)=4(5-

1

3

a)3（萬(wàn)元）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的最值，同時(shí)考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．