Question

某旅游用品商店經(jīng)銷某種深圳大運(yùn)會記念品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交a元（3≤a≤6）的稅收，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（11≤x≤16）時，一年的銷售量為（18-x）²萬件．
（Ⅰ）求該商店一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該商店一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)利潤等于銷售量與每件商品的利潤的乘積可得該商店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）欲求出L的最大值Q（a）．先對函數(shù)L（x）求導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得原函數(shù)的最大值即可解決問題．
解答：解：（Ⅰ）商店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式為：L=（x-3-a）（18-x）²，x∈[11，16]．（無定義域扣1分）                                      …（4分）
（Ⅱ）L=（x-3-a）（18-x）²=x（18-x）²-（3+a）（18-x）²L'（x）=（18-x）²-2x（18-x）+2（3+a）（18-x）=（18-x）（24+2a-3x）．
令L'=0得或x=18（不合題意，舍去）．…（6分）
∵3≤a≤6，∴．在兩側(cè)L'（x）的值由正變負(fù)．
所以（1）當(dāng)，即時，L_max=L（11）=49（8-a）=49（8-a）．
（2）當(dāng)即時，，
所以Q（a）=
答：若，則當(dāng)每件售價為11元時，商店一年的利潤L最大，最大值Q（a）=49（8-a）（萬元）；若，則當(dāng)每件售價為元時，商店一年的利潤L最大，最大值（萬元）．…（14分）
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的最值，同時考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．