【題目】已知函數
(1)若當時,恒成立,求實數的取值范圍.
(2)設,求證:當時, .
【答案】(1) ;(2)證明見解析
【解析】
(1)解法一:求得函數導數并通分,對分成兩種情況,結合函數的單調性、最值,求得實數的取值范圍.解法二:將原不等式分離常數,得到,構造函數,利用導數結合洛必達法則,求得的取值范圍,由此求得的取值范圍.(2)解法一:先由(1)的結論,證得當時成立.再利用導數證得當時,也成立,由此證得不等式成立.解法二:將所要證明的不等式等價轉化為,構造函數,利用導數證得,進而證得,也即證得.
解:(1)【解法一】由得:
①當時,由知,
在區(qū)間上為增函數,
當時,恒成立,
所以當時,滿足題意;
②當時,在區(qū)間上是減函數,在區(qū)間上是增函數.
這時當時,,
令,則
即在上為減函數,所以
即在上的最小值,
此時,當時,不可能恒成立,即有不滿足題意.
綜上可知,當,使恒成立時,
的取值范圍是.
【解法二】
當時,等價于
令,則只須使
設
在上為增函數,
所以在上為增函數,
當時,
由洛必達法則知
即當時,,所以有
即當,使恒成立時,則的取值范圍是
(2)解法一:由(1)知,當時,
當時,
又
成立
故只須在證明,當時,即可
當時,
又當時,
所以,只須證明即可;
設
由得:
當,時
當時,
即在區(qū)間上為增函數,在區(qū)間上為減函數,
當時,
成立
綜上可知,當時,成立.
(2)解法二:由(1)知當時,
等價于
設
由得:
當時,;當時,
即在區(qū)間上為增函數,在區(qū)間上為減函數,
當時,
因為時,.所以
所以成立.
綜上可知,當時,成立.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】“雙十一網購狂歡節(jié)”源于淘寶商城(天貓)2009年11月11 日舉辦的促銷活動,當時參與的商家數量和促銷力度均有限,但營業(yè)額遠超預想的效果,于是11月11日成為天貓舉辦大規(guī)模促銷活動的固定日期.如今,中國的“雙十一”已經從一個節(jié)日變成了全民狂歡的“電商購物日”.某淘寶電商分析近8年“雙十一”期間的宣傳費用(單位:萬元)和利潤(單位:十萬元)之間的關系,得到下列數據:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 | |
1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
(1)請用相關系數說明與之間是否存在線性相關關系(當時,說明與之間具有線性相關關系);
(2)根據(1)的判斷結果,建立與之間的回歸方程,并預測當時,對應的利潤為多少(精確到0.1).
附參考公式:回歸方程中中和最小二乘估計分別為
,相關系數
參考數據:
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙3人均以游戲的方式決定是否參加學校音樂社團、美術社團,游戲規(guī)則為:
①先將一個圓8等分(如圖),再將8個等分點,分別標注在8個相同的小球上,并將這8個小球放入一個不透明的盒子里,每個人從盒內隨機摸出兩個小球、然后用摸出的兩個小球上標注的分點與圓心構造三角形.若能構成直角三角形,則兩個社團都參加;若能構成銳角三角形,則只參加美術社團;若能構成鈍角三角形,則只參加音樂社團;若不能構成三角形,則兩個社團都不參加.
②前一個同學摸出兩個小球記錄下結果后,把兩個小球都放回盒內,下一位同學再從盒中隨機摸取兩個小球。
(1)求甲能參加音樂社團的概率;
(2)記甲、乙、丙3人能參加音樂社團的人數為隨機變量,求的分布列、數學期望和方差
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知某射擊運動員每次擊中目標的概率都是0.8,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次,至少擊中3次的概率:先由計算器給出0到9之間取整數值的隨機數,指定0,1表示沒有擊中目標,2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標,以4個隨機數為一組,代表射擊4次的結果,經隨機模擬產生了20組隨機數,根據以下數據估計該運動員射擊4次,至少擊中3次的概率為( )
7527 0293 7140 9857
0347 4373 8636 6947
1417 4698 0371 6233
2616 8045 6011 3661
9597 7424 7610 4281
A.0.852B.0.8192C.0.8D.0.75
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知圓和拋物線,圓與拋物線的準線交于、兩點,的面積為,其中是的焦點.
(1)求拋物線的方程;
(2)不過原點的動直線交該拋物線于,兩點,且滿足,設點為圓上任意一動點,求當動點到直線的距離最大時直線的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:過點與點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線過定點,且斜率為,若橢圓上存在,兩點關于直線對稱,為坐標原點,求的取值范圍及面積的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知定義在上的函數 和的圖象如圖
給出下列四個命題:
①方程有且僅有個根;②方程有且僅有個根;
③方程有且僅有個根;④方程有且僅有個根;
其中正確命題的序號是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
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