Question

如圖1-3-16,已知Rt△ABC中,D是斜邊AB的中點(diǎn),DE⊥AB于D,交AC于F,交BC延長線于E,BG⊥BA,交DC延長線于H,交AC延長線于G.

圖1-3-16

求證:(1)GH·CE =DF·BC;

(2)DC²=DF·DE;

(3)CH·CD =GH·DE;

(4)GB∶BA =CH∶BH;

(5)CH·EF =BA·DF.

Answer 1

思路分析:(1)欲證原式,只需證=,可在圖(c)中由BH∥DE,容易得到=, =,利用中間比代換即可,還可選中間比為.?

(2)在圖(f)中欲證原式,只需證=,發(fā)現(xiàn)它們分別屬于有公共角∠CDF的兩個(gè)三角形:△DCF和△DEC.只需利用“直角三角形斜邊中線的性質(zhì)”及“同角的余角相等”證得∠1=∠E即可.?

(3)欲證原式,只需證=.可直接證明△CGH∽△ECD(圖(c)也可利用相似三角形的傳遞性(△CGH∽△CFD,△CFD∽△ECD)來實(shí)現(xiàn).?

(4)所要證的比例式中的四條線段既不滿足“三角形一邊的平行線”條件,也不構(gòu)成相似三角形的對(duì)應(yīng)邊,但在圖(e)中發(fā)現(xiàn),可通過△GBA∽△GCB得到中間比=.證明=可由證明△GCH∽△CBH來實(shí)現(xiàn).?

(5)欲證原式,只需證=.但無法由證明三角形相似實(shí)現(xiàn),經(jīng)過觀察圖(d), ,而==,可與圖(c)聯(lián)系起來,得到 ()=·()=

 ()= (三角形一邊平行線的性質(zhì)),其中2CD =BA(圖(b)).因此通過對(duì)線段的倍、分的轉(zhuǎn)化(,2CD =BA),利用換中間比,換線段使問題得到解決.

解:同上分析:?