Question

已知△ABC的周長為4(

2

+1)，且sinB+sinC=

2

sinA．
（Ⅰ）求邊長a的值；
（Ⅱ）若S_△ABC=3sinA，求cosA的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正弦定理把sinB+sinC=

2

sinA轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)△ABC的周長求出a的值．
（II）通過面積公式求出bc的值，代入余弦定理即可求出cosA的值．

解答：解：（I）根據(jù)正弦定理，sinB+sinC=

2

sinA
可化為b+c=

2

a．
聯(lián)立方程組

a+b+c=4( 2 +1) b+c= 2 a

，
解得a=4．
∴邊長a=4；
（II）∵S_△ABC=3sinA，
∴

1

2

bcsinA=3sinA，bc=6．
又由（I）可知，b+c=4

2

，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了余弦定理、正弦定理和面積公式．這幾個公式是解決三角形邊角問題的常用公式，應(yīng)熟練記憶，并靈活運(yùn)用．