Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}sinx$，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，-cosx），x∈R．
（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求此時函數(shù)f（x）的最大值，并指出x取何值時，f（x）取得最大值．
（3）將f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位，再向上移動$\frac{1}{2}$個單位，得到g（x），若g（x）為奇函數(shù)，求φ的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得x取何值時，f（x）取得最大值．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）的解析式，利用定義域包含0的函數(shù)g（x）為奇函數(shù)的條件是g（0）=0，求得sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=0，從而得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ$-\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，即x=$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最大值$\frac{1}{2}$．
（3）將f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位，再向上移動$\frac{1}{2}$個單位，得到g（x），
則g（x）=sin[2（x+φ）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+2φ-$\frac{π}{6}$）．
要使函數(shù)g（x）=sin（2x+2φ-$\frac{π}{6}$）為奇函數(shù)，
需sin（2×0+2φ-$\frac{π}{6}$）=sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=0，故2φ-$\frac{π}{6}$=kπ，
則：φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，平面向量及應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性等知識的綜合應(yīng)用，屬于基本知識的考查．