已知
m
=(cosx,
3
sinx),
n
=(cosx,cosx),設(shè)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸及其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,
π
2
]
,求函數(shù)f(x)的值域及取得最大值時(shí)x的值;
(3)若b、c分別是銳角△ABC的內(nèi)角B、C的對(duì)邊,且b•c=
6
-
2
,f(A)=
1
2
,試求△ABC的面積S.
分析:(1)先根據(jù)f(x)=
m
n
求f(x)解析式,求出為f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2
,再根據(jù)基本正弦函數(shù)的對(duì)稱軸求
f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2
的對(duì)稱軸.
(2)先根據(jù)x∈[0,
π
2
]
,求2x+
π
6
的范圍再根據(jù)基本正弦函數(shù)的求f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2
的范圍.
(3)先根據(jù)f(A)=
1
2
,以及A的范圍求角A,再求角A的正弦值,最后用面積公式求出△ABC的面積S.
解答:解:(1)因?yàn)閒(x)=
m
n
=cosxcosx+
3
cosxsinx=cos2x+
3
sinxcosx

=
cos2x+
3
sin2x-1
2
=sin(2x+
π
6
)+
1
2
  
  所以對(duì)稱軸方程:x=
π
6
+
2
(k∈Z)
   單調(diào)遞增區(qū)間為(-
π
3
+kπ,
π
6
+kπ)
(k∈Z)
  (2)當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時(shí),2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
],sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1],
   sin(2x+
π
6
)+
1
2
∈[0,
3
2
]
所以,當(dāng)2x+
π
6
=
π
2
,即x=
π
6
,sin(2x+
π
6
)+
1
2
有最大值為
3
2

f(x)的值域?yàn)?span id="msdvzmc" class="MathJye">[0,
3
2
],x=
π
6
是取得最大值
  (3)因?yàn)閒(A)=
1
2
,所以sin(2A+
π
6
)+
1
2
=
1
2
,所以A=
12

sin
12
=sin(
π
4
+
π
6
)=sin
π
4
cos
π
6
+cos
π
4
sin
π
6
=
6
+
2
4

sABC=
1
2
b•csin
12
=
1
2
6
-
2
6
+
2
4
=
1
2

所以△ABC的面積為
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,以及三角形面積公式的應(yīng)用,做題時(shí)看清題意,認(rèn)真解答.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
m
=(cosx,sinx),
n
=(cosx,2
3
cosx-sinx),f(x)=
m
n
+|
m
|,x∈(
12
,π].
(Ⅰ)求f(x)的最大值;
(Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若f(B)=-1,a=c=2,求
AB
BC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
m
=(sinx+cosx,
3
cosx)
,
n
=(cosx-sinx,2sinx)
,函數(shù)f(x)=
m
n
,
(Ⅰ)求x∈[-
π
6
,
π
3
]
時(shí),函數(shù)f(x)的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C、的對(duì)邊,且a=
3
,b+c=3,f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
m
=(cosx,2sinx),
n
=(2cosx,-sinx),f(x)=
m
n

(1)求f(-
2009
3
π)的值;
(2)當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),求g(x)=
1
2
f(x)+sin2x的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
m
=(cosx,1),
n
=(2sinx,1),設(shè)f(x)=
m
n

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,已知A為銳角,f(
A
2
)=
4
3
,BC=4,AB=3,求sinB的值.

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