Question

已知矩陣A=

1 1 2 3

，B=

1 2 2 3

．
（Ⅰ）求矩陣A的逆矩陣A^-1；
（Ⅱ）求直線x+y-1=0在矩陣A^-1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下所得曲線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：逆變換與逆矩陣

專題：矩陣和變換

分析：（I）根據(jù)所給的矩陣求這個(gè)矩陣的逆矩陣，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩陣的公式，求出結(jié)果．
（Ⅱ）結(jié)合（I）的結(jié)論先求出A^-1B，設(shè)直線x+y-1=0上任意一點(diǎn)P（x，y）在矩陣A^-1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到P′（x′，y′），可得

x′=x+3y y′=y

，進(jìn)而可得直線x+y-1=0在矩陣A^-1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下所得曲線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A^-1=

a b c d

，
∵A•A^-1=

1 1 2 3

•

a b c d

=

1 0 0 1

，
解得：a=3，b=-1，c=-2，d=1，-------------（1分）
且A^-1=

3 -1 -2 1

---------------------------------------------（3分）
（Ⅱ）∵A^-1B=

3 -1 -2 1

•

1 2 2 3

=

1 3 0 1

---------------------（4分）
設(shè)直線x+y-1=0上任意一點(diǎn)P（x，y）在矩陣A^-1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到P′（x′，y′），
則

1 3 0 1

•

x y

=

x′ y′

-----------------------------------（5分）
即：

x′=x+3y y′=y

，從而

x=x′-3y′ y=y′

------------------------（6分）
代入x+y-1=0得x′-2y′-1=0  
即x-2y-1=0為所求的曲線方程．7分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查逆矩陣、矩陣的乘法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查書(shū)寫表達(dá)能力、運(yùn)算求解能力．