Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）求二面角Q—BP—C的余弦值．

 

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）二面角Q—BP—C的余弦值為．

【解析】

試題分析：（1）以點為中心建立空間坐標系，要證平面⊥平面，只需證明PQ⊥DQ，PQ⊥DC即可；（2）先求出平面PBC的和平面PBQ的法向量，兩個法向量所成的角即為二面角Q—BP—C的平面角，然后求出余弦值即可．

試題解析：（1）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.

則

所以

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.

又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.

（2）依題意有B（1，0，1），

設是平面PBC的法向量，則

因此可取

設m是平面PBQ的法向量，則

可取

故二面角Q—BP—C的余弦值為

考點：面面垂直的判定定理、二面角的求法、空間坐標系.