Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax-3a．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）分別求出當(dāng)a=1和a=2時函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得二次函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程為x=a，根據(jù)函數(shù)y=f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，可得實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）由判別式△≥0，求得實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）①當(dāng)a=1時，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，求得f（x）_max的值；②當(dāng)a=2時，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，在（2，3]上是減函數(shù)，求得f（x）_max的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f（x）=-x²+2ax-3a=-（x-a）²+a²-3a，
∵函數(shù)y=f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，所以a≥1，故實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅱ）因為函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)，∴△=（2a）²-4×（-1）×（-3a）≥0，即a²-3a≥0，
解得a≤0，或a≥3，故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪[3，+∞）．
（Ⅲ）①當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=-x²+2x-3在[1，3]上是減函數(shù)，于是，f（x）_max=f（1）=-2．
②當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=-x²+4x-6在[1，2]上是增函數(shù)，在（2，3]上是減函數(shù)，
于是，f（x）_max=f（2）=-2．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．