Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中點(diǎn)為O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)E（0，1），問(wèn)是否存在直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)且|ME|=|NE|，若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）連接AC，依題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴AC=5
∴CA+CB=5+3=2a，a=4
又2c=4，
∴c=2，從而b=，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
（2）由題意知，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，不滿足|ME|=|NE|，當(dāng)l與x軸平行時(shí)，|ME|=|NE|顯然成立，此時(shí)k=0
設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0）
由消去y得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
∵Δ=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-48）>0，
∴16k²+12>m²，①
令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為F（x₀，y₀）
則
∵|ME|=|NE|，
∴EF⊥MN，
∴k_EF×k=-1
即
化簡(jiǎn)得m=-（4k²+3），
結(jié)合①得16k²+12>（4k²+3）²，
即16k⁴+8k²-3＜0，
解之得（k≠0）
綜上所述，存在滿足條件的直線l，且其斜率k的取值范圍為。