【題目】如圖,在三棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形,側(cè)棱.
(1)求證:平面平面;
(2)求三棱錐外接球的體積.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)設(shè)中點為,連接、,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出,利用勾股定理得出,由線面垂直的判定定理可證得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;
(2)先確定三棱錐的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半徑,再由球體的體積公式可求得結(jié)果.
(1)設(shè)中點為,連接、, 因為,所以.
又,所以,
又由已知,,則,所以,.
又為正三角形,且,所以,
因為,所以,,
,平面,
又平面,平面平面;
(2)由于是底面直角三角形的斜邊的中點,所以點是的外心,
由(1)知平面,所以三棱錐的外接球的球心在上.
在中,的垂直平分線與的交點即為球心,
記的中點為點,則.
由與相似可得,
所以.
所以三棱錐外接球的體積為.
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【題目】環(huán)境問題是當(dāng)今世界共同關(guān)注的問題,我國環(huán)?偩指鶕(jù)空氣污染指數(shù)濃度,制定了空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn):
空氣污染質(zhì)量 | ||||||
空氣質(zhì)量等級 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
某市政府為了打造美麗城市,節(jié)能減排,從2010年開始考查了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數(shù),繪制了頻率分布直方圖,經(jīng)過分析研究,決定從2016年11月1日起在空氣質(zhì)量重度污染和嚴(yán)重污染的日子對機(jī)動車輛限號出行,即車牌尾號為單號的車輛單號出行,車牌尾號為雙號的車輛雙號出行(尾號為字母的,前13個視為單號,后13個視為雙號).
(1)某人計劃11月份開車出行,求因空氣污染被限號出行的概率;
(2)該市環(huán)保局為了調(diào)查汽車尾氣排放對空氣質(zhì)量的影響,對限行三年來的11月份共90天的空氣質(zhì)量進(jìn)行統(tǒng)計,其結(jié)果如表:
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
天數(shù) | 16 | 39 | 18 | 10 | 5 | 2 |
根據(jù)限行前六年180天與限行后90天的數(shù)據(jù),計算并填寫列聯(lián)表,并回答是否有的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).
空氣質(zhì)量優(yōu)良 | 空氣質(zhì)量污染 | 合計 | |
限行前 | |||
限行后 | |||
合計 |
參考數(shù)據(jù):
其中
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【題目】近年來,在新高考改革中,打破文理分科的“”模式初露端倪,其中語、數(shù)、外三門課為必考科目,剩下三門為選考科目選考科目成績采用“賦分制”,即原始分?jǐn)?shù)不直接用,而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分,假定省規(guī)定:選考科目按考生成績從高到低排列,按照占總體、、、分別賦分分、分、分、分,為了讓學(xué)生們體驗“賦分制”計算成績的方法,省某高中高一()班(共人)舉行了以此摸底考試(選考科目全考,單料全班排名),知這次摸底考試中的物理成績(滿分分)頻率分布直方圖,化學(xué)成績(滿分分)莖葉圖如圖所示,小明同學(xué)在這次考試中物理分,化學(xué)多分.
(1)采用賦分制后,求小明物理成績的最后得分;
(2)若小明的化學(xué)成績最后得分為分,求小明的原始成績的可能值;
(3)若小明必選物理,其他兩科從化學(xué)、生物、歷史、地理、政治五科中任選,求小明此次考試選考科目包括化學(xué)的概率.
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【題目】已知橢圓的離心率,且橢圓過點
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與交于、兩點,點在橢圓上,是坐標(biāo)原點,若,判定四邊形的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率為,分別為橢圓的左,右焦點,直線過點與橢圓交于兩點,當(dāng)直線的斜率為時,線段的長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點且與直線垂直的直線與橢圓交于兩點,求四邊形面積的最小值.
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【題目】已知自變量為的函數(shù)的極大值點為,,為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若,證明:有且僅有2個零點;
(2)若,,,…,為任意正實數(shù),證明:.
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【題目】已知函數(shù)(為常數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在內(nèi)有極值,試比較與的大小,并證明你的結(jié)論.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù)).在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線.
(1)當(dāng),時,求直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)時,若直線l與曲線C相交于A,B兩點,設(shè),且,求直線l的傾斜角.
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【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,點E在BD上,EA=EB=EC=ED,BDCD,△ACD為正三角形,點M,N分別在AE,CD上運動(不含端點),且AM=CN,則當(dāng)四面體C﹣EMN的體積取得最大值時,三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.
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