Question

設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）若{a_n}為公比為q的等比數(shù)列，寫出并推導(dǎo)S_n的計(jì)算公式；
（2）若a_n=2ⁿ，b_n=nlog₂（S_n+2），求證：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）Sn=

na1，q=1 a1(1-qn) 1-q ，q≠1

．利用“錯位相減法”即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）Sn=

na1，q=1 a1(1-qn) 1-q ，q≠1

．
證明：∵S_n=a₁+a₂+…+a_n，
∴Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1   ①
將①式乘以公比q，可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn   ②
①-②得：(1-q)Sn=a1-a1qn，
∴當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=a₁+a₁+…+a₁=na₁．
因此Sn=

na1，q=1 a1(1-qn) 1-q ，q≠1

．
（2）證明：∵an=2n，
∴a₁=2，q=2．
S_n=

2(1-2n)

1-2

2ⁿ⁺¹-2，
∴b_n=nlog₂（S_n+2）=nlog2(2n+1-2+2)=n（n+1），
因此

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯位相減法”、“裂項(xiàng)求和”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．