Question

已知非零數(shù)列{a_n}的遞推公式為a₁=1，a_n=a_n•a_n+1+2a_n+1（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{1+

1

an

}是等比數(shù)列；
（2）若關(guān)于n的不等式

1

n+log2(1+ 1 a1 )

+

1

n+log2(1+ 1 a2 )

+…+

1

n+log2(1+ 1 an )

＜m-

5

2

有解，求整數(shù)m的最小值．
（3）在數(shù)列{

1

an

+1-（-1）ⁿ}（1≤n≤11）中，是否一定存在首項、第r項、第s項（1＜r＜s≤11），使得這三項依次成等差數(shù)列？若存在，請指出r、s所滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導了

1

an+1

-

2

an

=1，從而得到

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，由此能證明{1+

1

an

}是等比數(shù)列．
（2）由（1）知1+

1

an

=2ⁿ，由題設(shè)條件得到

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

＜m-

5

2

，令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，由f（n）是增函數(shù)，能求出整數(shù)m的最小值．
（3）由已知條件推導出

1

an

+1+(-1)n=2ⁿ+（-1）ⁿ=b_n，要使b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列，只需b₁+b_s=2b_r，由此求出存在首項、第r項、第s項（1＜r＜s≤11），使得這三項依次成等差數(shù)列．

解答： （1）證明：∵非零數(shù)列{a_n}的遞推公式為a₁=1，a_n=a_n•a_n+1+2a_n+1（n∈N^*），
∴

1

an+1

-

2

an

=1，
∴

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，
∴{1+

1

an

}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
（2）解：∵{1+

1

an

}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴1+

1

an

=2ⁿ，
∵

1

n+log2(1+ 1 a1 )

+

1

n+log2(1+ 1 a2 )

+…+

1

n+log2(1+ 1 an )

＜m-

5

2

，
∴

1

n+log2(1+ 1 a1 )

+

1

n+log2(1+ 1 a2 )

+…+

1

n+log2(1+ 1 an )

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

＜m-

5

2

，
令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，
則f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
∴f（n）是增函數(shù)，
∴f（n）_min=f（1）=

1

2

，
∴

1

2

＜m-

5

2

．解得m＞3，
∴整數(shù)m的最小值為4．
（3）∵1+

1

an

=2ⁿ，
∴an=

1

2n-1

，
∴

1

an

+1+(-1)n=2ⁿ+（-1）ⁿ=b_n，
要使b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列，只需b₁+b_s=2b_r，
即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，
∵s≥r+1，∴2^s-2^r+1≥0，
∵（-1）^s-2（-1）^r-3≤0，
∴當且僅當s=r+1，且s為不小于的偶數(shù)時，
存在首項、第r項、第s項（1＜r＜s≤11），使得這三項依次成等差數(shù)列．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查最小值的求法，考查數(shù)列中存在首項、第r項、第s項（1＜r＜s≤11），使得這三項依次成等差數(shù)列的證明，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．