Question

1．設函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{3}}$]時，求f（x）的最大值及x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，再求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）x∈[0，$\frac{π}{3}$]時求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范圍，再求出f（x）取最大值時x的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=2×$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；…（2分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=π；…（3分）
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是
$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（k∈Z）$；…（6分）
（2）當x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
所以當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值是3．…（12分）

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是綜合性題目．