Question

1．已知平面直角坐際系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₁方程為ρ=2sinθ；C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（I）寫出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程并判斷點(diǎn)（1，$\frac{π}{4}$）和曲線C₁的位置關(guān)系．
（Ⅱ）若曲線C₁與曲線C₂距離的交點(diǎn)為A，B且|AB|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求曲線C₂的普通方程．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出C₁的直角坐標(biāo)方程；
（II）根據(jù)垂徑定理計(jì)算圓心到直線的距離，再根據(jù)距離公式列方程求出直線的斜率即可得出直線方程．

解答 解：（I）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0，
極坐標(biāo)（1，$\frac{π}{4}$）的直角坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
代入方程左邊得x²+y²-2y=1-$\sqrt{2}$＜0，
∴點(diǎn)（1，$\frac{π}{4}$）在曲線C₁內(nèi)部．
（II）設(shè)曲線C₁的圓心為M（0，1），半徑為r=1，則MA=1，
∴圓心M到直線C₂的距離d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{AB}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵直線C₂過定點(diǎn)（-1，0），設(shè)直線C₂的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴$\frac{|k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得k=2或k=$\frac{1}{2}$．
∴直線C₂的方程為2x-y+2=0或x-2y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．