Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$為奇函數(shù)（a、b∈Z），f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x＜0時，確定f（x）的單調遞增區(qū)間，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（-x）=-f（x），即$\frac{a（-x）^{2}+1}{-bx+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$可求c，再由f（-1）=-2，f（2）＜3結合a，b∈Z 可求a，b，進而可求f（x）
（2）利用導數(shù)大于0，可得f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即$\frac{a（-x）^{2}+1}{-bx+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$
∴c=0，f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$
∵f（-1）=-2，f（2）＜3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{-b}=-2}\\{\frac{4a+1}{2b}＜3}\end{array}\right.$，
∴$\frac{a-2}{a+1}$＜0，解得-1＜a＜2
∵a∈Z
∴a=0或a=1
當a=0時，b=$\frac{1}{2}∉$Z，
當a=1時，b=1，滿足題意，此時f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{x}$
（2）∵f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{x}$
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$
∴x＜-1時，f′（x）＞0；x＞-1時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-1）．

點評 本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性的應用，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調區(qū)間的存在及函數(shù)性質的研究，考查了考試探索新問題的能力．