Question

已知直線y=k（x+

1

4

）與曲線y=

x

恰有兩個不同交點，記k的所有可能取值構(gòu)成集合A；P（x，y）是橢圓

x2

16

+

y2

9

=l上一動點，點P₁（x₁，y₁）與點P關(guān)于直線y=x+l對稱，記

y1-1

4

的所有可能取值構(gòu)成集合B，若隨機地從集合A，B中分別抽出一個元素λ₁，λ₂，則λ₁＞λ₂的概率是

 

．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：根據(jù)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求出集合A，B，然后根據(jù)幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵y=

x

，
∴x=y²，代入y=k（x+

1

4

）得y=k（y²+

1

4

），
整理得ky²-y+

k

4

=0，
直線y=k（x+

1

4

）與曲線y=

x

恰有兩個不同交點，
等價為ky²-y+

k

4

=0有兩個不同的非負根，
即△=1-k²＞0，且

1

k

＞0，
解得0＜k＜1，
∴A={k|0＜k＜1}．
P₁（x₁，y₁）關(guān)于直線y=x+1的對稱點為P（y₁-1，x₁+1），
P是橢圓

x2

16

+

y2

9

=l上一動點，
∴-4≤y₁-1≤4，
即-1≤

y1-1

4

≤1，
設(shè)b=

y1-1

4

，則-1≤b≤1，
∴B={b|-1≤b≤1}．
∴隨機的從集合A，B中分別抽取一個元素λ₁，λ₂，
則λ₁＞λ₂等價為

0＜λ1＜1 -1≤λ2≤1 λ1＞λ2

，
則對應(yīng)的圖象如圖：
則λ₁＞λ₂的概率是

3

4

，
故答案為：

3

4

．

點評：本題主要考查幾何概型的概率計算，利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求出集合A，B是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度非常大．