Question

如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為

π

3

的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠COP=α，求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積．

Answer 1

分析：如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．

解答：解：如圖，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

，所以O(shè)A=

3

3

DA=

3

3

BC=

3

3

sinα．
所以AB=OB-OA=cosα-

3

3

sinα．
設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=（cosα-

3

3

sinα）sinα=sinαcosα-

3

3

sin²α
=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

1

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

3

6

=

1

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

．
由于0＜α＜

π

3

，所以當(dāng)2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

時(shí)，S_最大=

1

3

-

3

6

=

3

6

．
因此，當(dāng)α=

π

6

時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．