Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：

lnn

n+1

≤

n-1

2

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得x＞1，f′(x)=

1

x-1

-k=

k+1-kx

x-1

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)k≤0時，f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1≤0不可能恒成立；當(dāng)k＞0，f（x）_max=f（

1

k

+1）=-lnk，由此能確定實數(shù)k的取值范圍．
（3）構(gòu)造函數(shù)F（x）=lnx-

x2-1

2

，（x＞1），F′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

＜0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明

lnn

n+1

≤

n-1

2

（n∈N^*）．

解答： （1）解：∵f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，
∴x＞1，f′(x)=

1

x-1

-k=

k+1-kx

x-1

，
當(dāng)k≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）遞增；
當(dāng)k＞0時，f（x）在（1，

1

k

+1）遞增，（

1

k

+1，+∞）遞減．
（2）解：當(dāng)k≤0時，∵-k（x-1）+1＞0，（x＞1），
∴f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1≤0不可能恒成立，
當(dāng)k＞0，由（1）可知f（x）_max=f（

1

k

+1）=ln

1

k

-1+1=-lnk，
由-lnk≤0，得k≥1，
∴f（x）≤0恒成立時，k≥1．
（3）證明：構(gòu)造函數(shù)F（x）=lnx-

x2-1

2

，（x＞1），
F′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

＜0，
∴F（x）在（1，+∞）遞減，
∴F（x）＜F（1），即lnx-

x2-1

2

＜0，
∴

lnx

1+x

＜

x-1

2

．
∴

lnn

n+1

≤

n-1

2

（n∈N^*）．

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．