Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

+b，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f′（x）≥0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

+b，
則f/(x)=

1

x

-

a

x2

因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)函數(shù)f（x）極小值為3，
所以

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，
解得

a=1 b=2

，
（Ⅱ）因?yàn)?span id="15pur3f" class="MathJye">f(x)=lnx+

1

x

+2；
f/(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f′（x）≥0，
所以函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（1）=3，
f(x)max=f(2)=ln2+

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．