Question

已知圓C的圓心在直線x-y-1=0上，且與直線4x+3y+4=0相切，被直線3x+4y-5=0截得的弦長為，求圓C的方程．

Answer 1

解：∵圓C的圓心在直線x-y-1=0上，
∴設(shè)圓C的圓心為（a，a-1），半徑為r，
結(jié)合圓C與直線4x+3y+4=0相切，得點(diǎn)C到直線4x+3y+4=0的距離等于半徑r，
∴…（1）
又∵圓C被直線3x+4y-5=0截得的弦長為，
∴…（2）
（1）（2）聯(lián)列方程組，解之得a=2，r=3
可得圓心為C（2，1），所以圓C的方程為：（x-2）²+（y-1）²=9．
分析：根據(jù)圓心C在直線x-y-1=0上，可設(shè)圓心為C（a，a-1），半徑為r．根據(jù)直線4x+3y+4=0與圓C相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出點(diǎn)C到直線直線4x+3y+4=0距離等于r的式子；再根據(jù)圓C被直線3x+4y-5=0截得的弦長為，利用垂徑定理，列出弦長一半與弦心距的平方和等于半徑的平方．將兩式聯(lián)解，得到a、r的值，從而得到圓C的方程．
點(diǎn)評：本題給出一個(gè)圓心在定直線上的圓，和已知的兩條直線中的一條相切，另一條相交，求圓的方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于中檔題．