如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD：
①求異面直線PD與BC所成角的余弦值；
②求二面角E-BD-C的余弦值．

【答案】分析：建立空間直角坐標(biāo)系求出相關(guān)向量，
（1）利用共面向量定理：，證明BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD，①求出=（0，2a，-2a）和=（a，2a，0）的數(shù)量積來求異面直線PD與BC所成角的余弦值；②求平面BDE的一個(gè)法向量為=（2，1，-1）；平面BDC的一個(gè)法向量為=（0，0，1）；然后求向量的數(shù)量積來求二面角E-BD-C的余弦值．
解答：解：設(shè)AB=a，PA=b，建立如圖的空間坐標(biāo)系，
A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），
C（（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，）．
（1）=（0，a，），=（0，2a，0），=（0，0，b），
所以，BE∉平面PAD，∴BE∥平面PAD；

（2）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即=0
=（2a，2a，-b），∴==0，即b=2a．
①=（0，2a，-2a），=（a，2a，0），
cos＜，＞==，
所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為；
②平面BDE和平面BDC中，=（0，a，a），
=（-a，2a，0），=（a，2a，0），
所以平面BDE的一個(gè)法向量為=（2，1，-1）；
平面BDC的一個(gè)法向量為=（0，0，1）；
cos＜，＞=，所以二面角E-BD-C的余弦值為．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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