Question

7．設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，且當x＞1時，f（x）＞0，若對任意的實數(shù)x、y都有 f（xy）=f（x）+f（y），f（5）=1，解不等式f（x+1）-f（2x）＞2．

Answer 1

分析 根據題意和式子的特點，證出此函數(shù)為偶函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，再將不等式化為具體不等式，解此不等式即可．

解答 解：由題意知，對任意的實數(shù)x、y都有 f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令y=-1，代入上式，∴f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
設x₂＞x₁＞0，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∵當x＞1時，f（x）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（5）=1，∴f（25）=f（5）+f（5）=2，
∴f（x+1）-f（2x）＞2可化為f（$\frac{x+1}{2x}$）＞f（5）
∵f（x）是偶函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴不等式可化為f（|$\frac{x+1}{2x}$|）＜f（25），
∴|$\frac{x+1}{2x}$|＜25，且$\frac{x+1}{2x}$≠0，
解得：x＞$\frac{1}{49}$，
即不等式的解集為{x|x＞$\frac{1}{49}$}．

點評 本題的考點是抽象函數(shù)的性質及其應用，考查證明函數(shù)奇偶性和單調性的方法；求解不等式時利用函數(shù)的奇偶性及條件轉化為兩個函數(shù)值的關系，進而由函數(shù)的單調性轉化為自變量的大小，易錯點忽略定義域．