Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以C（1，-2）為圓心的圓與直線x+y+3$\sqrt{2}$+1=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在斜率為1的直線L，使得圓C上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于L對(duì)稱，若存在，求出此直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）求圓C的過(guò)原點(diǎn)弦長(zhǎng)最短的弦所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的半徑r，寫(xiě)出該圓的方程；
（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，方程為y=x+m，則直線必過(guò)圓心，把圓心坐標(biāo)代入直線方程求得m，則直線方程可求；
（3）求出經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和圓心的直線的斜率，得到過(guò)原點(diǎn)且與該直線垂直的直線的斜率，則圓C的過(guò)原點(diǎn)弦長(zhǎng)最短的弦所在直線的方程可求．

解答 解：（1）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
依題意得，a=1，b=-2；
∴該圓的半徑為r=$\frac{|1-2+3\sqrt{2}+1|}{\sqrt{2}}=3$，
∴該圓的方程是（x-1）²+（y+2）²=9；
（2）設(shè)存在滿足題意的直線，且此直線方程為y=x+m，則直線必過(guò)圓心，
∴-2=1+m，即m=-3．
∴直線方程為y=x-3；
（3）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和圓心的直線的斜率為k=$\frac{-2-0}{1-0}=-2$，
∴過(guò)原點(diǎn)且與該直線垂直的直線的斜率為$\frac{1}{2}$，直線方程為y=$\frac{1}{2}x$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，考查直線與圓相切、圓的基本性質(zhì)等問(wèn)題，是中檔題．