Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對(duì)于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為點(diǎn)的斜率，再根據(jù)f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，解出a值；
（Ⅱ）由題意先對(duì)函數(shù)y進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，因極值點(diǎn)含a，需要分類討論它的單調(diào)性；
（Ⅲ）已知a∈[

1

2

，2]，恒成立的問題，要根據(jù)（Ⅱ）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最大值，讓f（x）的最大值小于10就可以了，從而解出b值．

解答：解：（Ⅰ）解：f′(x)=1-

a

x2

，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'（2）=3，于是a=-8．
由切點(diǎn)P（2，f（2））在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
所以函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=x-

8

x

+9．
（Ⅱ）解：f′(x)=1-

a

x2

．
當(dāng)a≤0時(shí)，顯然f'（x）＞0（x≠0）．這時(shí)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上內(nèi)是增函數(shù)．
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，解得x=±

a

．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(-

a

，0)，（0，

a

）內(nèi)是減函數(shù)．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上內(nèi)是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(-

a

，0)，（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值為f(

1

4

)與f（1）的較大者，對(duì)于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

，
即

b≤ 39 4 -4a b≤9-a

，對(duì)任意的a∈[

1

2

，2]成立．
從而得b≤

7

4

，所以滿足條件的b的取值范圍是(-∞，

7

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力．