Question

4．已知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$，|$\overrightarrow{AC}$|=t，若P點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，當(dāng)t變化時(shí)，$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的最大值等于（　�。�

• A． -2
• B． 0
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，推導(dǎo)出B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），P（1，1），從而$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}-1$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-1），由此能求出$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的最大值．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$，|$\overrightarrow{AC}$|=t，∴B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），
∵P點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=（1，0）+（0，1）=（1，1），即P（1，1），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}-1$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-1），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=-$\frac{1}{t}$+1-t+1=2-（$\frac{1}{t}+t$），
∵$\frac{1}{t}+t≥2\sqrt{\frac{1}{t}•t}$=2，
∴$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的最大值等于0，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{1}{t}$，即t=1時(shí)，取等號(hào)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．