Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，左頂點(diǎn)為A，|AF₁|=$\sqrt{2}$-1
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 若直線l經(jīng)過(guò)F₂與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{{F_1}N}$取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），利用已知條件列出方程組，求解即可．
（Ⅱ）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l為：y=k（x-1），代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$利用韋達(dá)定理，推出$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}∈[-1，\frac{7}{2}）$．當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.，y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，推出$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=（2，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）•（2，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\frac{7}{2}$．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ） 設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ a-c=\sqrt{2}-1\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}\\ c=1\end{array}\right.$-------------（2分）
∴b²=a²-c²=1，∴$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$-------------------------------（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l為：y=k（x-1），代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$
得：$\frac{x^2}{2}+{k^2}{（x-1）^2}=1，整理得：$（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由題意△＞0
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，--------------------------------------（7分）
所以$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=（{x_1}+1，{y_1}）•（{x_2}+1，{y_2}）={x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}+1+{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）$=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（1-{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+1+{k^2}=（1+{k^2}）\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}+（1-{k^2}）\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+1+{k^2}$=$\frac{{7{k^2}-1}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{\frac{7}{2}（2{k^2}+1）-\frac{9}{2}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{7}{2}-\frac{{\frac{9}{2}}}{{2{k^2}+1}}$------------------------------（9分）
因?yàn)?+2k²≥1，所以$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}∈[-1，\frac{7}{2}）$-------------------------------（10分）
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.，y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），N（1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
所以$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=（2，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）•（2，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\frac{7}{2}$--------------------（11分）
綜上：$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}∈[-1，\frac{7}{2}]$----------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．