Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）設(shè)E是CC₁的中點，試求出A₁E與平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴四邊形ABB₁A₁為平行四邊形
∵AB=B₁B，∴平行四邊形ABB₁A₁為正方形，∴A₁B⊥AB₁，
又∵AC₁⊥面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，∴A₁B⊥面AB₁C₁

∴A₁B⊥B₁C₁，又BB₁⊥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A

解法一：（Ⅱ）當(dāng)點E為C₁C的中點時DE∥AC₁，
∵AC₁平面A₁BD，
∴DE⊥平面A₁BD，
則∠DA₁E即為A₁E與平面A₁BD所成角  

在矩形ACC₁A₁中，由AC₁⊥A₁D
可知△A₁AD≈△ACC₁，則

故AB=BC，不妨設(shè)AB=2，則，
故A₁E與平面A₁BD所成角的正弦值為

解法二：在矩形ACC₁A₁中，由AC₁⊥A₁D
可知△A₁AD≈△ACC₁，則，故AB=BC

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），E（0，2，1），
可得

由題意可知即為平面A₁BD的一個法向量，
故A₁E與平面A₁BD所成角的正弦值為

分析：（Ⅰ）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，我們易得A₁B⊥AB₁，AC₁⊥A₁B，由線面垂直的判定定理可得A₁B⊥面AB₁C₁，進(jìn)而A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，結(jié)合垂直的判定定理可得B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解法一：根據(jù)條件易知∠DA₁E即為A₁E與平面A₁BD所成角，從而可求線面角；
解法二：以B為坐標(biāo)原點，分別以BA，BC，BB₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，將線面角轉(zhuǎn)化為利用兩向量的夾角求解即可．
點評：本題以直三棱柱為載體，考查線面垂直，考查用空間向量求平面間的夾角，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握直三棱柱的幾何特征及線面垂直的判定定理，（2）轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，利用數(shù)量積求解．